二次递推数列求通项特征根

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二次递推数列是指每一项都由前两项推导出来的数列,通项公式可以用二次方程表示。在求解二次递推数列的通项公式时,需要先求出该数列的特征根。

特征根是指将递推数列转化为通项公式后,其二次方程的根。求解特征根的方法有多种,其中一种常用的方法是使用特征方程。

特征方程可以通过将递推数列的通项公式带入数列的递推式得到。假设递推数列的通项公式为 $a_n=r^n$,则递推式为 $a_n=ca_+da_$,带入通项公式得到 $r^n=cr^+dr^$。

将该方程两边都除以 $r^$,得到 $r^2=cr+d$。这就是递推数列的特征方程,其根即为特征根。

通过解特征方程,即可求出递推数列的特征根。如果特征根为实数,通项公式可以表示为 $a_n=Ar_1^n+Br_2^n$,其中 $A$ 和 $B$ 是常数,$r_1$ 和 $r_2$ 是特征根。

如果特征根为共轭复数对,则通项公式可以表示为 $a_n=(A+Bi)r_1^n+(A-Bi)r_2^n$,其中 $A$ 和 $B$ 是常数,$r_1$ 和 $r_2$ 是特征根的实部,$i$ 是虚数单位。

因此,求解二次递推数列的通项公式,需要先求出特征根,然后根据特征根的类型,确定通项公式的形式。